⭐写在前面的话:本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构,配以详细的图例解释,总结相应的代码模板,同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固,可参考:10min快速回顾C++语法,进行语法复习。
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差分
一维差分
差分思想和前缀和是相反的。
首先我们先定义数组a, 其中a[1],a[2]…a[n]作为前缀和。
然后构造数组b,b[1],b[2]…b[n]为差分数组。其中通过差分数组的前缀和来表示a数组,即a[n] = b[1] + b[2]+…+b[n]。
一维差分数组的构造也很简单,即a[1] = b[1], b[2] = a[2] – a[1], b[n] = a[n] – a[n-1];
注意:刚开始时可以初始化数组a,b全部为0,输入a数组后;在构造时,只需要将b[1]看做在[1, 1]区间上加上a[1]; b[2] 看作在[2, 2]区间上加上a[2];
差分数组的好处是可以简化运算,例如想要给一个区间 [l,r] 上的数组加一个常数c,原始的方法是依次加上c,这样的时间复杂度是O(n)的。但是如果采用差分数组的话,可以大大降低时间复杂度到O(1)。
由于a[n] = b[1] + b[2]+…+b[n],因此只需要将b[l] = b[l] + c 即可,这样l之后的数字会依次加上常数c,而在 b[r]处,将b[r+1] = b[r+1] – c ,这样r之后的数组又会恢复原值,仅需要处理这两个边界的差分数组即可,时间复杂度大大降低。
例题:差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作,每个操作包含三个整数 l,r,c,表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数,表示整数序列。
接下来 m 行,每行包含三个整数 l,r,c表示一个操作。
输出格式
共一行,包含 n 个整数,表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000, 1≤l≤r≤n, −1000≤c≤1000, −1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例:
输出样例:
代码模板
二维差分
将a[i][j]表示为一个差分数列b[i][j]的和即可。如下所示:
基本思路:给其中的一个子矩阵加上一个值。矩阵以外的减去一个值即可。
可列公式表示各个范围如下:
$b[x_2 + 1][y_2 + 1] += C; $
由上面范围,可以求得最终要算的小正方形的面积公式:
矩阵的初始化;
假定a[i][j] = 0,b[i][j] =0,然后读取数组a,只需要对b进行插入即可。b[i][j]相当于从(i,j)到(i,j)插入一个a[i][j]形成的。
最后求a[i][j]只需要求解b[i][j]的前缀和即可。
例题:差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个操作,每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q
接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。
接下来 q 行,每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。
输出格式
共 n 行,每行 m 个整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000 1≤q≤100000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤c≤1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例:
输出样例: